Das kommt etwas auf die Umstände an: Wenn der DJ seine "Klage" per Fax schickt, wird entweder gar nichts geschehen oder eine freundliche Mitteilung eingehen, dass er auf diesem Wege keine Klage einreichen könne.
Wenn er tatsächlich etwas per Post schickt, was als Klage angesehen werden kann, dann wird sie grundsätzlich durch den Eingang beim Gericht "hängig" (so nennt man das dort wohl). Wenn das Gericht nett ist, wird es ihm mitteilen, dass seine Klage mangels Zuständigkeit usw. abgelehnt werden müsse und er sie doch bitte zurückziehen oder einer "Abschreibung" zustimmen soll.
Wenn das Gericht "nicht nett" ist, wird es ihm mitteilen, dass es ohne Kostenvorschuss rein gar nichts tun wird. Dazu wird es ihm eine Frist setzen, und wenn bis zu deren Ablauf keine Zahlung eingegangen ist, wird es die Klage gegenstandslos erklären - aber unter Kostenfolge. Auf dem Rechtshilfeweg könnte eine solche Forderung (vermutlich eine Gerichtsgebühr) vermutlich sogar durchgesetzt werden.
Vermutlich würde vom DJ nicht der ganze Prozesskostenvorschuss verlangt, sondern eine Gebühr, die sich je nach Gericht um ein paar hundert Euro bewegen dürfte. Der verbleibende Betrag des Prozesskostenvorschusses wird ihm dann zurückerstattet.
Es kommt auch etwas darauf an, welches Gericht in welchem Kanton er belästigt. Da gibt es durchaus Unterschiede.