Ich versuch's mal einfach:
Ein Jugendamt ist eine Behörde und als solche Teil der öffentlichen Verwaltung. Wer einen Verwaltungsakt anfechten will, muss dies in der Regel bei der Verwaltungsgerichtsbarkeit tun.
Da das Jugendamt aber auch im Bereich des Familienrechts, z. B. Inobhutnahmen, entscheidet, das Familienrecht aber Sache der Familiengerichte ist, sind familienrechtliche Entscheidungen bei Familiengericht anzufechten.
Nun kann es aber sein, dass ein Akt des Jugendamts sowohl familienrechtliche als auch verwaltungsrechtliche Seiten hat. Dann müsste man also den familienrechtlichen Teil beim Familiengericht, den übrigen, rein verwaltungsrechtlichen Teil beim Verwaltungsgericht anfechten.
So ungewöhnlich ist das nicht. Wenn z. B. jemand einen anderen verletzt, kann er sich strafbar machen. Die Strafe muss das Strafgericht aussprechen. Der Verletzte kann aber auch Heilungskosten, Genugtuung u. ä. gegen den Täter geltend machen. Das ist ein privatrechtlicher Anspruch, der von Zivilgerichten beurteilt wird.